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  피타고라스의 꿈 '수'를 즐긴 최초의 저명인사는 아무래도 피타고라스일 듯 싶다.  그는 '피타고라스의 정리'로 대표되는 엄정한 연구에 몰두했을 뿐 아니라, 수에 대한 꿈과 공상을 확대하여, '모든 것은 수이다' 라든가, '1은 모든 것을 낳는다.', '유한은 무한을 지배한다.', '신성한 수 10' 등과 같은 주장을 했다.  종교적인 단체의 조상이기도 하며, 혼의 윤회를 믿기도 했다.  강아지를 때리고 있는 남자에게, "때리지 말아요, 그것은 내 친구의 혼이야. 우는 소리를 들으면 알 수 있어요."라고 했다고 한다. . 그가 자연 속에 있는 수의 성질을 중요하게 본 것은, 현악기의 음의 높이와 현의 길이의 관계를 발견하고 나서부터일 거라고 알려져 있다.  두 개의 현이 똑같은 강도로 쳐져 있다면, 길이가 1 대 2일 때 음의 높이는 정확히 한 옥타브 차이가 난다.  길이가 2 대 3일 때는 5도, 3 대 4일 때는 4도의 아름다운 화음이 생긴다.  이와 같이 같이 간단한 정수비로부터 아름다운 화음을 이끌어 낼 수 있다. 그런데 피타고라스는 '선분'을 '작은 입자의 틈이 없는 줄'이라고 생각했었던 것 같다.  그렇다고 하면 선분의 길이는 입자의 개수로 표시될 수 있다. (모든 것은 수!)  따라서 다양한 선분의 길이의 비는 입자의 개수의 비, 즉 정수비가 된다.  특히 세계의 근간을 형성하는 여러 별들에 대해서는 간단한 정수비가 성립할 것임에 틀림없다.  이렇게 해서 그는 아름다운 '천체의 음악'을 상상하고, 태양과 달의 운행을 논했다.  그리고 그것이 코페르니쿠의 지동설의 선구가 되었다고 한다. 피타고라스는 기원전 572년에 이오니아의 사모스 섬에서 태어나, 탈레스에게 수학을 배우고 그의 권유로 이집트와 여러 나라에 유학을 하였다고 전해진다.  유학을 마친 피타고라스는 고향 사모스 섬에으로 돌아와 학교를 세우려 ...

  수학자 라이프니츠 17세기의 만능 천재 라이프니츠(Leibniz, G. W. ; 1646~1716)는 독일 라이프치히에서윤리학(도덕학)교수의 아들로 1646년 7월 1일에 태어났다.  1652년에 아버지Friedrich Leibniz가 사망하고 이후 편모슬하에서 자랐다.  1661년 겨우 14세의 나이로 라이프치히 대학에서 공부했고, 1663년에 일반 학사학위를 받았다. 그 해 예나(Jena)대학에서 수학을 공부했고 다시 라이프치히 대학으로 가서 법학 박사학위를 목표로 공부했다. 법학 학사학위를 받았지만 1666년에 논문을 제출하고도 어리다는 표면상의 이유로 박사학위는 받을 수 없었다. 곧바로 알트도르프 대학으로 옮겨 1667년에 법학 박사학위를 취득했다. 그 뒤 뉘른베르크에서 역사를 활용한 교육 방법에 관한 훌륭한 글을 써서 마인츠(Mainz)의 선거 후(신성 로마 제국의 제후 중 황제선거권을 가졌던 제후)에게 헌정했다. 이를 계기로 선거후로부터 여러 가지 법전을 다시 편찬하는 과제를 위임받았다. 그 뒤 외교관으로 여생을 보냈는데, 처음에는 마인츠의 선거후를 위해, 그리고1676년경부터 죽을 때까지는 하노버의 선거후들을 위해 일했다. 라이프니츠는1672년 외교적인 목적으로 파리에 있었을 때, 학술계의 동향에 큰 관심을 가졌다. 당시 그 곳에 거주하고 있던 네덜란드의 뛰어난 수학자 호이겐스를 만났는데, 그로부터 수학을 배웠다.  1673년에는 정치적인 목적으로 런던을 방문했는데, 자신이 발명한 곱셈 계산기를 왕립학회에 제출했다. 하노버 군주의 사서가 되기 위해 파리를 떠나기 전에 이미 미분 적분학의 기본 정리를 발견했고 이 분야의 많은 기호를 개발했으며 미분법의 기본공식을 많이 고안했다. 라이프니츠는 1682년 멩케와 함께‘학술기요’라는 잡지를 발간했으며, 편집장이 되었다. 1700년에는 베를린 과학회를 창설했고, 이와 유사한 학회를 드레스덴, 빈, 상트페트르부르크에도 창설하게 했다. 말년에는 미분 적분학의 발견과 관련된 ...

  수학자 네이피어 로그를 발견한 영국의 수학자 네이피어(John Napier; 1550~1617)는 그의 아버지가 겨우16세였을 때 태어났다. 네이피어는13세 때 세인트앤드루스 대학에 입학했지만 졸업하지 않고,유럽의 여러 곳에서 공부한 것으로 보인다.  1574년까지 스코틀랜드 에든버러(Edinburgh) 근처의 머치스턴에 있던 가문의 당당한 영지와 거대한 저택을 물려받았고, 평생을 그곳에서 보냈다. 나중에는 남작의 작위도 받았다. 네이피어는 카톨릭에 극렬하게 반대했고,녹스와 제임스1세의 운동을 옹호했다. 열정적인 칼뱅주의가 되어 정치, 종교적 논쟁에 대부분의 정력과 시간을 소비했다. 이런 논쟁으로부터 휴식을 취하기 위해서 수학과 과학 연구에 몰두했고 이로부터 즐거움을 찾았다고 한다. 네이피어는 여러 가지 잔인한 전쟁 병기를 예언했는데, 설계도면과 모형도 함께 제시했다. 예언하기를, 미래에는 반경 4마일(1마일=1.6km) 안에 있는1피트 이상의 모든 생물체를 전멸시킬 수 있는 병기가 개발될 것이고, 물 밑으로 다닐 수 있는 도구가 개발될 것이며, 살아 있는 혈기왕성한 입을 가진 전차가 발명되어 모든 방향을 파괴할 것이라고 했다.  제1차 세계대전에서 이것들은 각각 기관총, 잠수함, 탱크 등으로 실현되었다. 네이피어가 대단히 놀라운 창의력과 상상력을 발휘했기 때문에, 당시의 사람들은 그가 정서적으로 불안정하고 마법을 부린다고 생각할 정도였다. 이런 점을 예시하는 이야기가 많이 전해진다. 한번은 네이피어가 물건을 훔친 하인을 새까만 수탉을 이용해서 찾아낸 적이 있었다. 닭을 깜깜한 방에 넣고 하인을 한 명씩 들여보내고는 닭의 등에 손을 얹게 했다. 네이피어는 하인들에게 이 과정이 끝나면 닭이 범인을 가려낼 것이라고 주지시켰다. 사실, 그는 하인들 몰래 닭의 등에 남포 그을음을 묻혀 놓았었다. 두려울 것이 없는 결백한 하인들은 주인의 명령에 따랐지만, 죄를 지은 하인은 닭의 등을 만지지 않았다. 그렇게 해서 간단하게 범인을 가려낼 수 있...

  코끼리를 냉장고에 넣는 방법 1. 아르키메데스 (1) 나에게 지렛대를 주면 코끼리를 냉장고에 넣을 수 있다. (2) 코끼리를 물에 넣어 넘친 물을 모아서 냉장고에 넣는다.  그 부피가 같으니 같다고 본다.  그리고 유레카라고 외친다. 2. 피타고라스 알로고스는 존재하지 않는다.  정육면체 모양의 냉장고의 한 빗변이 로고스일 경우  한 면의 대각선이나 정육면체의 대각선은 알로고스이므로  말이 되지 않는다. 3. 유클리드 코끼리를 냉장고에 넣는 것을 공리로 하여 원론에 쓴다. 4. 알 콰리즈미 미지수 x를 냉장고에 넣고 코끼리를 x에 대입한다. 5. 파스칼 냉장고의 내부를 무한으로 한다.  코끼리의 부피는 무한이 아니므로 코끼리의 부피는 몇이 되든간에  냉장고에 넣을 수 있다. 6. 페르마 나는 코끼리를 냉장고에 넣었다. 하지만 종이의 여백이 부족해서 적지 않는다. 7. 오일러 손을 떼지 않고 한 번에 넣기는 불가능하자.  다른 방법을 시도해본다. 8. 뉴턴 코끼리를 미분하고 냉장고에 넣어 적분한다. 9. 칸토어 집합의 포함관계를 사용하여 {코끼리}⊂{냉장고}로 정의한다. 10. 디오판토스 코끼리의 일부가 냉장고에 들어간다고 한다.  이때 냉장고가 덧셈에 대해 닫혀있다면  코끼리 전체가 냉장고에 들어갈 수 있다. 11. 아벨 (1) 코끼리의 일부가 냉장고에 들어간다고 하고,  냉장고가 덧셈에 대해 가환군/아벨군일 경우에  코끼리 전체가 냉장고에 들어간다. (2) 에너지효율 5이상의 냉장고에는 코끼리를 넣는 공식이 존재하지 않는다. 12. 카르다노 타르탈리아에게 코끼리를 냉장고에 넣는 방법을 알아온 다음 발표한다. 13. 파울리 하이젠베르크가 양자역학적 방법으로  코끼리를 냉장고에 넣는 방법을 계산하는 법을 돕는다. 14. 가우스 (1) 초등학생때 이미 넣어 세상을 놀라게 한다. (2) 가우스 기호를 사용해 크지 않은 정수값으로 부피를 바꾸...

  버트런드 러셀의 역설 어떤 도시에 이상한 법이 있었다. 법에 따르면 시민은 모두 면도를 해야 한다. 단, 스스로 면도하기 싫은 이는 이발사에게 가면 된다. 그런데 이 도시엔 이발사가 한 명뿐이다. 한편, 정확한 법 조항은 이렇다. ‘스스로 면도하지 않는 시민은 이발사에게 면도를 받는다.’ 그렇다면 이발사는 누구에게 면도를 부탁해야 하는 것인가?라는 문제가 생긴다. 즉 이 법은 문제가 있다. 이발사 자신의 경우를 따져보자. 만약 이발사가 스스로 면도를 하지 않는다면 ‘스스로 면도하지 않는 시민’에 해당됨으로 이발사로부터 면도를 받을 수 있다. 그런데 그 이발사는 바로 자신이다. 따라서 이발사는 스스로 면도를 하는 셈이다. 그러나 그렇게 되면‘스스로 면도하지 않는 시민만 이발사에게 면도를 받는다.’는 법을 어긴다. 또한 이발사는 스스로 면도를 할 수도 없다. 왜냐하면 스스로 면도를 하면 자신이‘스스로 면도를 하는 시민’이 되고, 그렇게 되면 이발사에게 면도를 받을 수 없기 때문이다. 이것이 유명한‘러셀의 역설’이다. 1901년 영국의 수학자이자 철학자인 러셀은  이 역설로 하루아침에 국제 수학계의 유명인이 되었다. 참고: 영국의 수학자인 러셀(Russell, B. A. W.,1871~1970)은 1910년 화이트헤드(Whitehead, A. N., 1861~1947)와 함께 '수학 원리(Principia Mathematica)'를 저술하며 수학을 이용해 논리학의 기초를 닦고자 하였다. 그는 집합론에 대한 '러셀의 역설(Russell's paradox)'로도 유명하다. 1919년 책 '논리적 원자론(The Philosophy of Logical Atomism)'에서는 그것을 다음과 같은 형태로 모방할 수 있다고 했는데, 이것을 '이발사의 역설(Baber's Paradox)'이라고 부른다. "스스로 면도를 하지 않는 사람들 모두를, 그...

  Acrobat Reader DC를 이용하여  A3 파일을 A3 용지에 출력하는 방법 (2장에 분할 출력) 1. acrobat reader DC 프로그램을 통해 파일을 연다. 다운로드 https://www.adobe.com/kr/acrobat/pdf-reader.html?promoid=C4SZ2XDR&mv=other 2. <인쇄>를 눌러 인쇄 설정에 들어간다. 2. <페이지 크기 조정 및 처리>에서 포스터를 선택하고 <바둑판 배열 비율>을 95%로 정한다. (A4용지 4장에 분할 인쇄하는 경우 : 135%로 조정) 4. <속성> 버튼을 누른다. 5. 원고 크기, 용지 크기 모두 A4로 바꾼다.   6. <확인> 버튼을 누른 후 인쇄한다. ★ 원본 파일이 A4인 경우 A4 2장에 분할할 때 : 135% A4 4장에 분할할 때 : 190%

  황금비 Golden ratio 그 밖에도 미켈란젤로의 작품, 담뱃갑, A4용지의 가로, 세로의 비율, 태풍과 은하수 형태, 바다의 파도, 배꼽을 기준으로 한 사람의 상체와 하체, 목을 기준으로 한 사람의 머리와 상체 비율 등에서도 황금비가 나타난다. 이웃하는 피보나치 수를 나누면 그 비율은 점차 1.6(황금비)에 가까워지며 360도를 황금비로 나누면 137.5도가 나온다. 씨앗의 배열, 잎차례 등에서 137.5도의 황금각을 볼 수 있다. 해바라기 씨앗을 137.5도의 위치마다 배치하면  결국 피보나치 수열의 배열이 완성된다. 피보나치 수열 Fibonacci sequence 피보나치 수는 첫째 및 둘째 항이 1이며 그 뒤의 모든 항은 바로 앞 두 항의 합인 수열이다. 전체 식물의 90% 이상에서 피보나치 수열의 꽃잎과 잎차례, 씨앗의 배열을 볼 수 있다.